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By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 332291562X

ISBN-13: 9783322915627

ISBN-10: 3528131926

ISBN-13: 9783528131920

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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X2, ... , X n als Lösungen besitzen. Im Fall von zwei vorgegebenen Lösungen XI und X2 reicht dazu eine quadratische Gleichung, nämlich X 2 -(XI +X 2 )X+X I X 2 Bei drei vorgegebenen Lösungen XJ. chung X2 =0. und X3 erfüllt die kubischen Glei- die gewünschten Anforderungen. Entsprechend sind die vier Zahlen und X4 Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichung: X2, X3 x 4 -(XI +x2 +x3 +X4 )X 3 +(X I X 2 +X I X 3 +X 2 X 3 +X I X 4 +X 2 X 4 +X 3 X 4 )X 2 -(X I X 2 X 3 +X I X 2 X 4 +X\X 3 X 4 +X2X3X4)X+XIX2X3X4 J.

Die bei deren Auflösung innerhalb der Cardanischen Formel auftretedenden Zwischenwerte U, v und J(q 12? + (p 13f können dabei offensichtlich auch aus den Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Dazu ist in den drei gerade hergeleiteten Formeln lediglich jede Lösung Xj (für j = 1, 2,3) durch zu ersetzen, wobei die drei Formeln sogar unverändert bleiben. Die Formeln für die drei Zwischwerte u, v und J(q 12)2 + (p 13)3 gelten damit auch unverändert für die allgemeine kubische Gleichung.

Ist beispielsweise eine Lösung Xl bekannt, so kann man innerhalb des auf der linken Gleichungsseite stehenden Polynoms die Unbekannte X durch Xl + (X - Xl) ersetzen. Entwickelt man nun die Potenzen (Xl + (X - XI»k nach Potenzen von Xl und (x - Xl), so findet man, dass sich der Faktor (x - Xl) abspalten lässt: n X +an_1x n-l + ... +a1x+a o =(x - Xl)n + bn- l (X - Xl )n-l + ... + bl (X - Xl) mit Daher ergibt sich nun wie gewünscht: 24 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter I, Gleichung x 3 + 72 = llx 2 + bO Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften +alx+a o =(x =(X - x I )( (x Xl )(x n- l XI r- + b l n- l (x - 31 Xl r- 2 + ...

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Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by Thomas
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