New PDF release: Algebra · Invariantentheorie · Geometrie

By David Hilbert (auth.)

ISBN-10: 3642519504

ISBN-13: 9783642519505

ISBN-10: 364252012X

ISBN-13: 9783642520129

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2 ' .. -deutige absolute lnvariante der Form f aufzufassen ist. :... -1 2 -1 und an, von denen der erste im Sinne der Gleichungen (38) den heiden Wurzelwerten von n = 0, der zweite den t-t - 2 iibrigen Wurzelwerten von e = 0 zugeordnet erscheint. Diese einfache und ohne Verleugnung des invarianten Prinzips gewonnene Unterscheidung der heiden Gruppen von Wurzelwerten und ot1 , ~ a4 , ot3 , ••• , otp zeigt zugleich, den Satzen der allgemeinen Gleichungstheorie entsprechend, die Moglichkeit und Methode einer rationalen Ausfiihrung der Spaltung der Form e in die heiden Faktoren (x - ot1 ) (x - ~) und (x - ot3 ) (x - ot4 ) • • • (x - ot,u) • Dem Obigen zufolge besitzen namlich die heiden Gleichungen e= II p, - = -2 - 1 und Ll@ 2 und nur 2 gemeinsame Wurzeln oct und oc2 oder, urn eine dem invarianten 0 §9 Transformation einer Form in die Kugelfunktionen pn(p, x).

Fiir den einfachsten tiberhaupt in Betracht zu ziehenden Fall, namlich m=2, i=1, zu der allgemeinen Kugelfunktion pn (p, x) in der Gestalt (18). Von invariantentheoretischen Gesichtspunkten aus kann also eine Verallgemeinernng der Kugelfunktion nach zwei Seiten hin vorgenommen werden: einmal, indem wir der zugrunde gelegten Form cp einen hoheren als den zweiten Grad erteilen und zweitens, indem wir eine hohere Uberschiebung tiber cp als die erste zum Verschwinden bringen. Fiir die in Rede stehenden Polaren oder einseitigen Differentialquotienten solcher allgemeineren Formen I lassen sich in der Tat ahnliche Differentialgleichungen, d.

9 und gestattet in ahnlicher Weise wie dieser auch direkte Beweise seiner Richtigkeit, unter denen der einfachste auf der Benutzung der symbolischen Rechnungsart beruht. , J,. die fraglichen Koeffizienten in der Entwickelung des Produktes (39), so ergibt die Vergleichung der Koeffizienten der Potenzen von z das folgende System von Invarianten-Kriterien £iir die Kugelfunktionen Jo= Jl = I, 0, 1 J2 = - 4 ,_,. <•-2 ' .. -deutige absolute lnvariante der Form f aufzufassen ist. :... -1 2 -1 und an, von denen der erste im Sinne der Gleichungen (38) den heiden Wurzelwerten von n = 0, der zweite den t-t - 2 iibrigen Wurzelwerten von e = 0 zugeordnet erscheint.

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by Edward
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