Allgemeine Algebra und Anwendungen by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller PDF

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

ISBN-10: 3519020300

ISBN-13: 9783519020301

ISBN-10: 3663098133

ISBN-13: 9783663098133

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend warfare, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre warfare, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem development zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Wenn bei den gleichen Stellungen der einzelnen Schalter Strom von einem Pol zum anderen fließt bzw . nicht fließt. 1 sind zwei Schaltungen dargestellt, welche äqu ivalent sind . 1 31 Offens ichtlich ist die Aquivalenz von Schaltungen eine Aquivalenzrelati·on in der Menge der betrachteten Schaltungen und induziert daher eine Klasseneinteilung . - Eines der Probleme beim Entwurf von Schaltungen besteht nun darin, aus den Klassen von untereinander äquivalenten Schaltungen diejenigen Schaltungen herauszufinden , welche i n Hinblick auf einen gewissen Gesichtspunkt (wie etwa die Gesamtzahl der verwendeten Schalter) optimal sind .

Bewei s : Angenommen es existiert so ein Ordnungshomomorphismus h, und ist keine Präferenzrelation. 1 eine Teilhalbordnung in H, welche zu H2+1 isomorph ist. Sind a,b,c mit a x b und aIc, bic die Elemente dieser Teilhalbordnung, so folgta h(c) würde a c nach sich ziehen; nach demselben Argument folgt bl c .. h(b)=h(c). Also ist h(a) = h(b) : h(c), im Widerspruch zu h(a)

Alle f Ur gerichtete Graphen erklärten Begriffe sind unmittelbar auf unger ichtete Graphen Ube r t r agbar . Der beschriebene Zusammenhang zwischen Graphen und Relationen be- 34 steht allerdings nicht mehr. Auch das Studium von ungerichteten Graphen ist sehr bedeutsam . B . ~ oder an "Kantengraphen" von Polyedern. - Ein ganz anders geartetes weiteres Beispiel werden wir im nächsten Abschnitt besprechen. Abschließend sei bemerkt, daß wir bisher nur die wichtigsten Typen von Relationen bzw. Graphen erwähnt haben, und daß es natürlich noch eine ganze Reihe von weiteren "relationalen Strukturen" gibt.

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by John
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