Prof. Dr. Alfred Göpfert, Prof. Dr. Thomas Riedrich, Prof.'s Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für PDF

By Prof. Dr. Alfred Göpfert, Prof. Dr. Thomas Riedrich, Prof. Dr. Christiane Tammer (auth.)

ISBN-10: 3834895725

ISBN-13: 9783834895721

ISBN-10: 3835101331

ISBN-13: 9783835101333

In diesem Buch werden Motivationen, Arbeitsweisen, Resultate und Anwendungen der Funkt- nalanalysis für Wirtschaftsmathematik und Mathematische Ökonomie dargestellt, die aber auch für Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften allgemein und für Informatik und Physik zutr- fen. Die erwähnten Arbeitsweisen und Resultate haben interessante historische Ursprünge, aus denen heraus sich durch umfassendere Modellierungen und Anwendungen funktionalanalytische Versionen gebildet haben, die heute normales Wissen in den jeweiligen Disziplinen sind. Wir möchten einige der historischen Quellen nennen. Der schottische Ökonom Adam Smith schrieb in seinem Buch 1776, dass ein ökonomisches Marktgeschehen (etwa eine Austauschökonomie) so funktioniere, als ob es „von einer unsic- baren Hand“ gesteuert würde. Das kann guy als einen frühen Hinweis auf einen gesteuerten Prozess ansehen mit dem Ziel, einen Gleichgewichtszustand in dem Marktgeschehen zu err- chen. Später, in den zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts, entwickelte sich die Spieltheorie, in der modernen shape wesentlich beginnend mit Arbeiten von John von Neumann (1903–1957), und in dem Buch von von Neumann und Morgenstern hatte sie ihren ersten Kulminationspunkt. Spiele wurden verallgemeinert (viele Spieler, Kontinua von Spielern, Koalitionen, allgemeinere Präferenzen, Ökonomien) und aus der Vielzahl der beitragenden Wissenschaftler möchten wir John Nash (geb. 1928), Träger des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften 1994, nennen. Versionen von Nash-Gleichgewichtspunkten gehören zu den wichtigen Gegenständen der - dernen Ökonomie. Harry M. Markowitz entwickelte 1952 ein Portfolio-Optimierungsproblem, welches die Entscheidungen eines traders rational begründet. Für seine Forschungsarbeiten erhielt Markowitz 1990 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Eine weitere interessante Quelle der Mathematischen Ökonomie ist Paretos Ef?zienzbegriff.

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7 Es sei (X, · ) ein normierter Raum und {xn } eine Folge aus X, die gegen das Element x schwach konvergiert. ), m. a. , jede schwach konvergente Folge ist beschränkt. Der Beweis des Satzes nutzt den Satz von Banach-Steinhaus (vgl. 3). 38) drückt, wenn sie für jede schwach gegen das Element x konvergente Folge gilt, die schwache Unterhalbstetigkeit der Norm aus, genauer die schwache Folgen-Unterhalbstetigkeit, denn die Unterhalbstetigkeit wurde mit Folgen erklärt und nicht mit Umgebungen einer schwachen Topologie.

Rn ) und es seien a1 , · · · , an feste komplexe (bzw. reelle) Zahlen. Für x = (ξ1 , · · · , ξn ) ∈ X setzen wir x (x) = n ∑ a jξ j. 2) j=1 x ist ein lineares Funktional auf X. Ist ei = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1) die ausgezeichnete Basis von X, so gilt ersichtlich die Gleichung 30 3 Funktionale und Operatoren x (ek ) = ak (k = 1, · · · , n). 1) ist x (x) = n n j=1 j=1 ∑ a j ξ j = ∑ x (e j )ξ j . 4). 2), und durch die Vorgabe der Werte x (e j ) ( j = 1, · · · , n) ist das lineare Funktional x eindeutig bestimmt.

6), aber für Funktionen x ∈ L2 [a, b] und eine Funktion z ∈ L2 [a, b]. 8) ein lineares Funktional über L2 [a, b]. Im Weiteren schränken wir die Menge der betrachteten linearen Funktionale ein: In den Anwendungen sind nämlich die Urbildräume X oft normierte (oder lineare topologische) Räume und unter den auf ihnen definierten linearen Funktionalen sind die stetigen linearen Funktionale wichtig. 1 ist bemerkenswert: Für X = Cn (bzw. Rn ) kennen wir alle linearen Funktionale, und natürlich (wir denken uns X und C bzw.

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Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler by Prof. Dr. Alfred Göpfert, Prof. Dr. Thomas Riedrich, Prof. Dr. Christiane Tammer (auth.)


by George
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